Boas Vindas!

Este blog foi desenvolvido como atividade de pesquisa acadêmica na disciplina de Informática Aplicada à Matemática, pelas Acadêmicas Catiana Inês Niedermayer, Keli Costa de Araújo, Sandra Marinês Muller, Simone Mendes, Taciele Inês Martin, do Curso Matemática-Licenciatura, da Universidade de Santa Cruz do Sul.
Santa Cruz do Sul, 25 de janeiro de 2010.

O surgimento dos Fractais

Para descrever objetos definidos (cones, esferas) e formas geométricas usamos a Geometria Euclidiana, porém ela não é suficiente para descrever todas as formas e objetos geométricos encontradas na natureza, como podemos visualizar na fígura ao lado. Entre outros exemplos, temos a couve-flor, o cupinzeiro, o brócolis e a própria costa da Grã-Bretanha.

Foi da necessidade de se calcular e descrever certos fenômenos da natureza ou objetos intricados que não possuem forma definida, que surgiu a Geometria Fractal, uma geometria que apresenta estruturas geometricamente complexas e infinitamente variadas.

Origem da Palavra Fractal

Um fractal é uma forma geométrica irregular ou fragmentada que pode ser subdividida em partes, e cada parte será uma cópia reduzida da forma toda. Fractal vem do latim “fractus”, que significa “irregular” ou “quebrado”.
Fonte:www.inf.ufrgs.br/~crcons/arquivos/fractais.ppt

Definição de Fractal

Um fractal é uma forma geométrica que pode ser subdividida em partes menores, sendo que cada uma dessas partes é uma cópia reduzida da forma inteira.
Muitas estruturas matemáticas são fractais, e através delas consegue-se obter imagens irregulares e fragmentadas, muitas delas impressionantes por sua complexidade e beleza.
Formas fractais também estão presentes na Natureza e podem ajudar a descrever muitos objetos do mundo real que não correspondem a formas geométricas simples, como nuvens, montanhas, costas litorâneas e a turbulência do ar.
Fonte: http://www.sitedecuriosidades.com/ver/fractal.html

Benoit Mandelbrot

O matemático francês, Benoit Mandelbrot, (1924-), escolheu a palavra fractal para nomear os estudos que ele se dedicou e trouxe mais conhecimento a nós. Pois na verdade os fractais não foram descobertos nem criados por Mandelbrot, ele apenas os nomeou, visto que estes já eram conhecidos antes de sua descoberta. Existem indicações de que os fractais já existiam antes do século XX. Na época eram conhecidos como “monstros matemáticos”, na Grécia Homérica, Índia e China. Até mesmo Euclides, a mais de dois mil anos, observou que a areia da praia se assemelhava a uma espécie que é bidimensional, embora fosse constituída por pequenas partes tridimensional.

Segundo Ricieri, o Matemático Mandelbrot ao definir os fractais se apoiou muito em matemáticos, cientistas, que já haviam se dedicado a este estudo sistemático dos fractais, mas não chegaram a ter uma conclusão exata dos seus estudos. Podemos citar: o Georg Cantor (1845-1918), David Hilbert (1862-1943), Giusepe Peano (1858-1932), Helge von Koch (1870-1924), Waclaw Sierpinski (1882-1969), entre outros.

Fonte: RICIERI, Aguinaldo Prandini. Fractais e Caos: A Matemática de Hoje. São Paulo: Parma, 1990.

Classificação

Existem quatro categorias relevantes de arte fractal, divisão baseada no tipo de matemática envolvida no processo, onde o nome normalmente aparece associado ao do matemático que a desenvolveu: Experimento com fractal de Mandelbrot Aquela onde cada ponto do gráfico pode ser determinado pela aplicação interativa de uma função simples (Exemplos são o conjunto de Manderbrot, o fractal de a Lyapunov e o fractal do navio queimando); Aquela onde existe uma regra de substituição geométrica (Exemplos incluem a poeira de Cantor, o triâgulo de Sierpinski, a esponja de Menger eo floco de Neve de Koch ); Aquela criada com sistemas fractais interativos (Exemplo, as chamas fractais); Aquela gerada por processos com razão aleatória, em vez de processos deterministas (Como as paisagens fractais) Fractais dos quatro tipos tem sido utilizados como base de arte e animaçãodigital . Começando com detalhes bidimensionais, os fractais encontram aplicações artísticas variadas, como gerar texturas, simulação de vegetação e confecção de paisagens. Podem então evoluir para representações tridimensionais complexas. Na música, sons baseados em fractais são surpreendentemente realistas e parecem mais capazes de produzir sons parecidos com os naturais que outros processos.
Fonte:http://wikimedia.org//wikipedia

Conjunto de Cantor

Parte-se de um segmento de reta compreendido entre os valore 0 e 1. É então retirado o terço médio , resultando em dois segmentos de extensão 1/3. Depois, é retirado o terço médio destes dois segmentos, ficando, então, quatro segmentos de extensão 1/9. O processo se repete indefinidamente tendendo ao infinito. Chega-se a um momento onde o resultado é uma sucessão de pontos, que é mais conhecida como a poeira de Cantor.

Fonte: http://www.educacaopublica.rj.gov.br/biblioteca/matematica/0009.html

Triângulo de Sierpinski

É uma das formas elementares da geometria fractal por apresentar algumas propriedades como:ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais; ter área igual a zero; ser auto-semelhante (uma sua parte é idêntica ao todo); não perder a sua definição inicial à medida que é ampliado.

Sua construção começa com um triângulo em um plano. Diminui-se o triângulo pela metade (cada lado deve ter metade do tamanho original), faça três copias, e posicione cada triângulo de maneira que encoste nos outros dois em um canto (ver segunda figura).Repete-se indefinidamente o passo anterior para cada figura obtida.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Sierpinski